En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o número complejo.
¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo, m.c.m?
Vamos a aprenderlo con un ejemplo, calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324.
m.c.m. (180,324)
1. Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números, empezamos por descomponer esos números en factores primos.
2. El mínimo común múltiplo se obtiene cogiendo todos los factores (comunes y no comunes), elevados a la máxima potencia.
Es decir cogemos todos los factores, pero los que se repitan los cogemos elevados a la máxima potencia.
m.c.m. (180,324)= 22x5x34
El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, en ambos casos está elevado a 2.
El 5 sólo aparece en la descomposición de 180, pero tenemos que coger todos.
El 3 aparece como factor en ambas descomposiciones, pero cogemos el denominador más elevado.
3. Hacemos la multiplicación y obtenemos el mínimo común múltiplo.
m.c.m. (180,324)= 22x5x34= 1620
Propiedades básicas
Si a es un entero, entonces [a, a] = |a|
Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, solo si b es múltiplo de a.
En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1. Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.
Origen
Antigua Grecia
La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimismo el teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne.
Un fragmento de los Elementos de Euclides encontrado en Oxirrinco
Desde la época del Renacimiento
Después de las matemáticas griegas hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta el siglo xvii. En 1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China.
Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1 eran primos (debido a lo cual se los conoce como números de Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sin embargo, el número de Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea primo aparte de los que ya conocía el propio Fermat.
El monje francés Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2p − 1, con p primo. En su honor, se los conoce como números de Mersenne
.Pierre de Fermat
¿Cuántos números primos existen?
Por desgracia, no hay una fórmula que permita identificarlos a todos. Por ello, históricamente los matemáticos se las han tenido que ingeniar para desarrollar métodos que permitan encontrarlos. Otro de los desafíos a los que se enfrentan los matemáticos es el de conocer cómo se distribuyen los números primos. En efecto, la cantidad de primos que hay en un cierto intervalo es variable. Mira la siguiente tabla.
Existen infinitos números primos
El razonamiento para demostrar lo anterior es muy sencillo. Supongamos que no existiesen infinitos números primos. Entonces, habría uno que fuese el mayor de todos. Llamemos P a ese número primo que es el mayor de todos. A continuación, construimos otro número, que llamaremos Q, de la siguiente manera:
Q = (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x P) + 1
Este nuevo número es el resultado de multiplicar todos los números primos hasta el último y luego sumarle 1. Ahora resulta que Q no es divisible entre ningún número primo pues el resto de dividirlo entre cualquiera de ellos es 1. ¡Prueba a dividir 31 entre 2, 3 y 5 para comprobarlo tú mismo! Por lo tanto, Q solo es divisible entre sí mismo y entre la unidad, es decir, ¡es primo! Pero, claramente, Q es mayor que P.
Por lo tanto, hemos encontrado un primo mayor que el mayor de todos los números primos. Como esto es contradictorio, la conclusión es que no puede existir un número primo que sea el mayor de todos. O dicho de otra forma, que existen infinitos números primos.
La unidad imaginaria o unidad de número imaginario (i) es una solución a la ecuación cuadrática x2 + 1 = 0 . A pesar de que no hay un número real con esta propiedad, i puede ser usado para extender los números reales a lo que son llamados números complejos, utilizando adición y multiplicación. Un ejemplo sencillo del uso de i en un número complejo es 2 + 3i.
Se utiliza la “i” para denotar la unidad imaginaria dado que proviene del inglés, imaginary numbers. Como no podemos utilizar los números reales para dar solución a la ecuación anterior que parece imposible, tendremos que “imaginar” un número que sí lo hace.
Para entender de donde viene la igualdad anterior, quitaremos la raíz de la derecha del igual y elevaremos al cuadrado la i.
Propiedades de la unidad imaginaria
La unidad imaginaria posee tres propiedades.
Propiedad 1
1 · i = i
La multiplicación de 1 con la i produce un efecto neutro.
Propiedad 2
i · i = -1
-i · i = 1
Esta propiedad es la más importante dado que solo la poseen los números imaginarios.
Propiedad 3
-1 · i = -i
La multiplicación de -1 con la i produce un cambio de signo en la i.
Historia
En el año 1777, Leonhard Euler le dio el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva (i = √¯-1) dando a entender que no tenían una existencia real.
Gottfried Wilhelm Leibniz, en el siglo XVII, expresó "El Espíritu divino se manifestó sublimemente en esta maravilla del análisis, en este portento del mundo de las ideas, este anfibio entre el ser y el no ser, que llamamos raíz imaginaria de la unidad negativa".
En 1572, Rafael Bombelli ya había realizado cálculos utilizando números imaginarios pero sin utilizar aún la letra i, y en 1811, Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de Argand.
Uso de los números imaginarios
El número imaginario no solo es imprescindible en Física y Matemática, sino que ha `permitido la ampliación y desarrollo de nuevos conceptos.
Tiene especial utilidad en electromagnetismo, ondas radiactivas, trayectorias espaciales, hidrodinámica e indispensables para múltiples problemas matemáticos.
La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos y las raíces cuartas, sextas y pares de números negativos, confirmando el teorema fundamental del álgebra. Esto es toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes complejos, tiene por lo menos una raíz en el campo de los números complejos.
Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un número complejo en general es otro número complejo.
En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.
En campos de la ingeniería eléctrica y afines, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de la corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
El número áureo (también llamado número de oro, número de Dios, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.
su valor aproximado es:
Se trata de un númeroalgebraico irracional (su representación decimal es infinita y no tiene periodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles.
Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.
¿Cuál es el significado del número de oro?
Conocer el número áureo es algo apasionante por ser una cifra tan enigmática. Se encuentra dentro del grupo de los irracionales y se muestra como una construcción de tipo geométrico debido a que representa la relación que existe entre dos segmentos de una misma recta.
Curiosidades:
1.Para la geometría, una espiral áurea es aquella espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ (Phi). Esta espiral se ensancha, es decir, se aleja de su origen, en un factor de Phi por cada cuarto de giro que efectúa.
2.El primero que estudió de manera formal el número áureo fue el matemático y geómetra griego Euclides.
3.La sucesión de Fibonacci es una lista de números en la que cualquiera puede encontrar el siguiente sumando los dos últimos. Las primeras cifras son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… Si se divide un número de esta lista por el anterior, el resultado de esta operación se aproxima cada vez más a la proporción áurea.
4.EL número áureo y el arte Algunos autores afirman que en la Gioconda de Leonardo da Vinci se puede encontrar una Espiral Áurea
El número pi, también conocido como ‘π’, en las matemáticas es un número irracional. Esto quiere decir que no es exacto ni periódico, ya que tiene una cantidad infinita de decimales. Pi demuestra la relación de la longitud de una circunferencia con su diámetro.
Origen del número pi:
Fue en el siglo III antes de Cristo, cuando el físico griego Arquímedes logró determinar el valor de pi, utilizando polígonos para afinar el cálculo. Su aproximación tuvo un error de solo el 0.024% y el 0.040% sobre el valor real.
Pero si bien fue Arquímedes el primero en proponer un valor, a través de los años diversos matemáticos y científicos siguieron en la búsqueda del valor exacto de pi.
Definiciones y caracterizaciones
Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante. No obstante, existen diversas definiciones del número , pero las más común es:
es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro.
Además es:
El área de un círculo unitario (de radio que tiene longitud 1, en el plano geométrico usual o plano euclídeo).
El menor número real positivo tal que .
También es posible definir analíticamente ; dos definiciones son posibles.
Usos del número pi:
El número pi es utilizado en las matemáticas, especialmente para la geometría y la trigonometría. Esto se debe al cálculo que uno puede hacer con este número del radio de cualquier círculo si se conoce su circunferencia o viceversa. También se utiliza como parte de la Integral de Gauss y otras fórmulas en cálculo, probabilidad, análisis matemático y geometría.
Curiosidades del numero pi:
1. El Día del Número Pi se celebra el 14 de marzo ya que si escribimos esta fecha en inglés se lee como la famosa constante: 3/14. La celebración oficial comienza a las 1:59 p.m. así se puede escribir 3/14 1:59 (3,14159).
2. El número de cifras decimales del número Pi es infinito. Pero la secuencia 123456 no aparece en el primer millón de dígitos decimales de Pi.
3. Actualmente se conocen 13,3 billones de dígitos del número Pi.
4. Pi es la constante matemática más misteriosa y estudiada del mundo. Los eruditos a menudo consideran que Pi es el número más importante e intrigante de todas las matemáticas.
En matemáticas existen muchos números muy interesantes y famosos claro algunos mas que otros, el numero e no es tan famoso como el numero ℼ, pero de este hablaremos mas adelante, e al igual que ℼ es un número irracional, es decir que posee infinitos decimales y estos no siguen ningún patrón.
¿Cómo surgió el numero e?
En las postrimerías del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas, España e Inglaterra ofrecían mucho dinero a la persona que descubriese un mecanismo que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía.
Fue el escocés John Napier quien descubrió esta herramienta matemática en 1614, los logaritmos naturales. En un apéndice de su trabajo, aparece su constante base, el número e, que hoy podemos ver en todas las calculadoras.
Gracias a los logaritmos (a los que Napier llamó "números artificiales!), las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo que simplificó mucho la realización manual de los cálculos matemáticos.
El valor de e y como podemos calcularlo
El valor aproximado de e es 2.7182818284...
¿Pero como podemos calcularlo? Pues bien existe una forma fácil para calcular el valor del numero e, la cual es:
donde si sustituimos a x por el valor mas grande que podamos nos acercaremos mas al valor de e ejemplo
como se puede observar entre mas grande x mas nos acercaremos al valor de e, probemos para números mas grandes.
Otra manera de calcularlo
El valor de e también es igual a 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + ... (etc)
Importancia del numero e
e ha jugado un papel primordial en las matemáticas, al ayudar a describir y predecir el más importante fenómeno natural: el crecimiento. La función exponencial, y=ex, es el instrumento usado de una u otra forma, para describir el comportamiento del crecimiento de las cosas (reacciones químicas, físicas, eléctricas, celulares …). Es la única función de x con una tasa de cambio con respecto a x igual a la función misma. En otras palabras, cuando un fenómeno se comporta de manera exponencial, tiene la propiedad de que su ritmo de cambio es proporcional al ritmo de cambio de su variable. Ello explica el que la derivada de la función ex sea la misma función.
