Los números primos 

En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1.​ Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Origen 

Antigua Grecia

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimismo el teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne.

Un fragmento de los Elementos de Euclides encontrado en Oxirrinco

Desde la época del Renacimiento

Después de las matemáticas griegas hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta el siglo xvii. En 1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1 eran primos (debido a lo cual se los conoce como números de Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sin embargo, el número de Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea primo aparte de los que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2p − 1, con p primo. En su honor, se los conoce como números de Mersenne

.Pierre de Fermat

 

¿Cuántos números primos existen?

Por desgracia, no hay una fórmula que permita identificarlos a todos. Por ello, históricamente los matemáticos se las han tenido que ingeniar para desarrollar métodos que permitan encontrarlos. Otro de los desafíos a los que se enfrentan los matemáticos es el de conocer cómo se distribuyen los números primos. En efecto, la cantidad de primos que hay en un cierto intervalo es variable. Mira la siguiente tabla.

Existen infinitos números primos

El razonamiento para demostrar lo anterior es muy sencillo. Supongamos que no existiesen infinitos números primos. Entonces, habría uno que fuese el mayor de todos. Llamemos P a ese número primo que es el mayor de todos. A continuación, construimos otro número, que llamaremos Q, de la siguiente manera:

Q = (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x P) + 1

Este nuevo número es el resultado de multiplicar todos los números primos hasta el último y luego sumarle 1. Ahora resulta que Q no es divisible entre ningún número primo pues el resto de dividirlo entre cualquiera de ellos es 1. ¡Prueba a dividir 31 entre 2, 3 y 5 para comprobarlo tú mismo! Por lo tanto, Q solo es divisible entre sí mismo y entre la unidad, es decir, ¡es primo! Pero, claramente, Q es mayor que P.

Por lo tanto, hemos encontrado un primo mayor que el mayor de todos los números primos. Como esto es contradictorio, la conclusión es que no puede existir un número primo que sea el mayor de todos. O dicho de otra forma, que existen infinitos números primos.