polígonos regulares e irregulares

Qué son los polígonos regulares e irregulares

Los polígonos son lo que se entiende en geometría como figuras planas con un determinado número de lados que engloban una región de un plano de manera finita. Esos costados que forman los segmentos de la figura se conocen como aristas y el punto en el que se juntan dos aristas se llama vértice o esquina. En cada uno de esos vértices se generan dos ángulos, el interior y el exterior, que simplemente es la amplitud generada en el vértice.

Hay distintas clasificaciones para los polígonos, pero en este artículo hablaremos de los polígonos regulares y los irregulares.

• Polígonos regulares. Son aquellos que tienen todos los ángulos de la misma amplitud y todos los lados de la misma longitud.
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• Polígonos irregulares. Son los que o bien tienen los costados de igual longitud, pero ángulos de distinta amplitud; o bien tienen los costados de distinta longitud, pero ángulos de idéntica amplitud; o bien tienen los costados de distinta longitud y ángulos de distinta amplitud.
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• Ejemplos de polígonos regulares

  Los polígonos regulares pueden ser infinitos, así que vamos a ver una muestra de ejemplos de este tipo de polígono con el número de lados que tienen cada uno de ellos:

  • Triángulo equilátero: 3
  • Cuadrado: 4
  • Pentágonoregular: 5
  • Hexágono regular: 6
  • Heptágono regular: 7
  • Octógono u octágono regular: 8
  • Eneágono o nonágono regular: 9
  • Decágono regular: 10
  • Endecágono o undecágonoregular: 11
  • Dodecágono regular: 12
  • Tridecágono o triskaidecágono regular: 13
  • Tetradecágono regular: 14
  • Pentadecágono o pentedecágono regular: 15
  • Hexadecágono regular: 16
  • Heptadecágono regular: 17
  • Octodecágono u octadecágono regular: 18
  • Eneadecágono o nonadecágono regular: 19
  • Isodecágono o icoságono regular: 20

  A mano alzada es muy difícil, prácticamente imposible, dibujar un polígono regular, porque sin querer un lado puede quedarnos más largo que otro. Por eso, en la actualidad existen generadores que dibujan polígonos regulares por ordenador.

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• Ejemplos de polígonos irregulares

  Los polígonos irregulares también pueden ser infinitos, así que vamos a ver una selección de ejemplos de estos polígonos con el número de lados que tienen cada uno de ellos:

  • Triángulo no equilátero: 3
  • Cuadrilátero (rombo, rectángulo, romboide, trapecio, trapezoide): 4
  • Pentágonoirregular: 5
  • Hexágono irregular: 6
  • Heptágono irregular: 7
  • Octógono u octágono irregular: 8
  • Eneágono o nonágono irregular: 9
  • Decágono irregular: 10
  • Endecágono o undecágonoirregular: 11
  • Dodecágono irregular: 12
  • Tridecágono o triskaidecágono irregular: 13
  • Tetradecágono irregular: 14
  • Pentadecágono o pentedecágono irregular: 15
  • Hexadecágono irregular: 16
  • Heptadecágono irregular: 17
  • Octodecágono u octadecágono irregular: 18
  • Eneadecágono o nonadecágono irregular: 19
  • Isodecágono o icoságono irregular: 20

  Como ya os habréis dado cuenta, simplemente cambia el apellido "regular" o "irregular" en la mayoría de polígonos, excepto en los primeros. Eso es así porque el número de lados es el mismo, aunque sean de distinta longitud. En realidad, si dibujas varias líneas de distintas longitudes que se unan sin hacer hendiduras, tendrás fácilmente un polígono irregular.

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Interés compuesto

El interés compuesto (en griego antiguo: ἀνατοκισμός, anatokismós) en contabilidad y finanzas, es el interés de un capital al que se van acumulando sus créditos o intereses para que produzcan otros. El interés compuesto permite la capitalización de intereses periódicamente -día a día, mes a mes, etc.​

El interés compuesto permite la reinversión inmediata de los intereses. El uso del interés compuesto permite que el capital inicial vaya aumentando con los mismos intereses que genera, incrementando exponencialmente la cantidad de capital invertido en cada período y obteniendo un mayor beneficio en cada ejercicio, a esto se le conoce como capitalización continua.

Cálculo del Interés Compuesto 

Para un período de tiempo determinado, el capital final (C_F1) se calcula mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \ C_{F1}=C_{I}(1+r)}$

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período:

${\displaystyle \ C_{F2}=C_{F1}(1+r)=C_{I}(1+r)(1+r)=C_{I}(1+r)^{2}}$

Repitiendo esto para un tercer período continuo:

${\displaystyle \ C_{F3}=C_{F2}(1+r)=C_{I}(1+r)^{2}\cdot (1+r)=C_{I}(1+r)^{3}}$

Por lo que el capital al final del enésimo período es:

${\displaystyle \ C_{F}=C_{I}(1+r)^{n}}$

Donde:

${\displaystyle \ C_{F}}$ es el capital al final del enésimo período

${\displaystyle \ C_{I}}$ es el capital inicial

${\displaystyle \ r}$ es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

${\displaystyle \ n}$ es el número de períodos

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Ejemplo 

Usemos un ejemplo en el que generas interés. Supongamos que depositas $5,000 en una cuenta de ahorros con una tasa de interés anual del 5 %, que se capitaliza mensualmente. Dicho depósito generaría $3,235.05 de interés al finalizar un periodo de 10 años. El desglose del cálculo matemático es como sigue:

x = C (1+t/n)nu - C

x = 5,000 (1+0.05/12)12x10 - 5,000

x = 5,000 (1.00416667)120 - 5,000

x = 5,000 (1.64701015) - 5,000

x = 8,235.05 - 5,000

x = 3,235.05

Durante ese periodo de 10 años, tu depósito aumentaría de $5,000 a $8,235. La misma cuenta, si generara interés simple, aumentaría a solo $7,500.

Por supuesto, si no te gusta hacer cálculos con números, puedes usar una calculadora en línea. Las calculadoras pueden ser particularmente útiles cuando haces depósitos o pagos a tus cuentas con regularidad, ya que tu saldo cambiará con el tiempo.

La frecuencia de la capitalización es particularmente importante para estos cálculos, ya que cuanto más alto sea el número de periodos de capitalización, mayor será el interés compuesto. Y si bien el interés se puede capitalizar conforme a cualquier frecuencia determinada por una institución financiera, el programa de capitalización de las cuentas de ahorros y money market de los bancos con frecuencia es diario. El interés sobre los certificados de depósito (CD) se puede capitalizar diariamente, mensualmente o semestralmente. En el caso de las tarjetas de crédito, la capitalización con frecuencia ocurre mensualmente o incluso diariamente. La capitalización más frecuente te favorece cuando eres el inversionista, pero supone una desventaja cuando eres el prestatario.

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Medidas de tendencia central

La medida de tendencia central (moda,media y mediana), parámetro de tendencia central o medida de centralización es un número ubicado hacia el centro de la distribución de los valores de una serie de observaciones (medidas), en la que se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana u moda. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.¹​ En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

Entre las medidas de tendencia central tenemos lo siguientes:

Media aritmética

En matemáticas y estadística, la media aritmética, también llamada promedio o media, es un conjunto infinito de números, es el valor característico de una serie de datos cuantitativos, objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número total de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria, recibe el nombre de media, siendo uno de los principales estadístico muestrales.

Definición

Dados los n números ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$, la media aritmética se define como:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {8+5+\left(-1\right)}{3}}=4}$

Se utiliza la letra x con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra (${\displaystyle {\overline {x}}}$), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido entre n, donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos que da el resultado.

Ejemplo:

Mediana

Otra medida de tendencia central es la mediana. La mediana es el valor de la variable que ocupa la posición central, cuando los datos se disponen en orden de magnitud. Es decir, el 50% de las observaciones tiene valores iguales o inferiores a la mediana y el otro 50% tiene valores iguales o superiores a la mediana.

Si el número de observaciones es par, la mediana corresponde al promedio de los dos valores centrales. Por ejemplo, en la muestra 3, 9, 11, 15, la mediana es (9+11)/2=10.

Moda

En la estadística, la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Esto va en forma de una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. En el caso de la distribución uniforme discreta, cuando todos los datos tienen una misma frecuencia, se puede definir las modas como indicado, pero estos valores no tienen utilidad. Por eso algunos matemáticos califican esta distribución como «sin moda».

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

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Los paralelogramos 

Con origen en el vocablo latino parallelogrammus, el concepto de paralelogramo sirve para identificar a un cuadrilátero donde los lados opuestos resultan paralelos entre sí. Esta figura geométrica constituye, por lo tanto, un polígono que se compone de 4 lados donde hay dos casos de lados paralelos.

Clases de paralelogramos

• El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud, y todos sus ángulos son rectos.

• El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y solo dos pares de ángulos congruentes.

• El rectángulo, que tiene solo sus lados opuestos de igual longitud, y todos sus ángulos son rectos.

• El romboide, que tiene solo los lados opuestos de igual longitud y solo dos pares de ángulos congruentes.

Significado de Paralelogramo

El -gramo en paralelogramo significa algo dibujado (como en el diagrama), o algo escrito (como en el telegrama). La palabra paralelogramo sugiere un dibujo con líneas paralelas. La definición formal contiene otras restricciones (cuatro lados, exactamente dos conjuntos de paralelos).

Concepciones típicas, conceptos erróneos

Tal vez porque los ejemplos de los paralelogramos son tan a menudo el caso genérico (largo y sesgado), dibujado con el lado más largo horizontal, los estudiantes a menudo tienen dificultades para reconocer otras orientaciones o casos especiales (como rectángulos) como paralelogramos. Por ejemplo, las figuras aquí son todos paralelogramos, pero no todos se reconocen fácilmente como paralelogramos.

Propiedades del Paralelogramo

Un cuadrilátero es un paralelogramo si:

• Ambos pares de lados opuestos son paralelos. (Por definición).
• Ambos pares de lados opuestos son congruentes. Si son congruentes, también deben ser paralelos.
• Un par de lados opuestos es congruente y paralelo. Entonces, el otro par también debe ser paralelo.

Hay seis propiedades importantes de paralelogramos a saber:

• Los lados opuestos son congruentes (AB = DC).
• Los ángulos opuestos son congruentes (D = B).
• Los ángulos consecutivos son suplementarios (A + D = 180 °).
• Si un ángulo es el correcto, todos los ángulos son correctos.
• Las diagonales de un paralelogramo se cruzan entre sí.
• Cada diagonal de un paralelogramo se separa en dos triángulos congruentes.

Características del Paralelogramo

Estas propiedades son ciertas para paralelogramos y las formas descendientes: cuadrado, rectángulo y rombo.

Base

Cualquier lado puede considerarse una base. Elige cualquiera que te guste. Si se usa para calcular el área, se debe usar la altura correspondiente. En la figura anterior, se ha elegido una de las cuatro bases posibles y su altura correspondiente.

Altura

La altura de un paralelogramo es la distancia perpendicular desde la base hasta el lado opuesto (que puede que se extienda). En la figura se muestra la altura h.

Área

El área de un paralelogramo se puede hallar multiplicando una base por la altura correspondiente.

Perímetro

La distancia alrededor del paralelogramo. La suma de sus lados.

Lados opuestos

Los lados opuestos son congruentes (de igual longitud) y paralelos. A medida que cambia la forma del paralelogramo en la parte superior de la página, observa cómo los lados opuestos siempre tienen la misma longitud.

Diagonales

Cada diagonal corta la otra diagonal en dos partes iguales.

Ángulos interiores

1. Los ángulos opuestos son iguales.
2. Los ángulos consecutivos son siempre suplementarios (suman 180°)

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 Los Ángulos  

En geometría, el ángulo puede ser definido como la parte del plano determinada por dos semirrectas llamadas lados que tienen el mismo punto de origen llamado vértice del ángulo. La unidad de medida de los ángulos son los grados.​

La medida de un ángulo es considerada como la amplitud del arco de circunferencia centrada en el vértice y delimitada por sus lados. Su medida es un múltiplo de la razón entre la longitud del arco y el radio. Su unidad natural es el radián, pero también se puede utilizar el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Los ángulos, al igual que los números o los polígonos, también pueden clasificarse. Podemos nombrar un ángulo según la abertura que tiene, por su posición con respecto a otro o por cuánto suman dicho ángulo con otro con el que comparte vértice.

Tipos de ángulos según su medida

La clasificación de los ángulos según sus medida sería:

Ángulos agudos

• Son todos los ángulos con una amplitud menor de 90º (>90º)

Ángulos rectos

• Son los ángulos que miden, exactamente, 90º.

Ángulos obtusos

• Son los ángulos que miden más de 90º y menos de 180º (>90º y <180º)

Ángulos llanos

• Son los ángulos que miden, exactamente 180º. A primera vista parecen una línea recta.

Ángulos cóncavos

• Son los ángulos cuya amplitud es mayor de 180º y menor de 360º (>180º y >360º)

Ángulos convexos

• Son los ángulos que miden entre 0º y 180º (>0º y >180º)

Ángulos completos

• Un ángulo completo es el que mide, exactamente 360º. Parece una circunferencia.

En la siguiente imagen puedes ver un ejemplo de cada tipo de ángulo:

Historia y etimología

La palabra ángulo proviene del latín, angulus, que significa "esquina"; las palabras afines son la griega ἀγκύλος (ankylοs), que significa "torcido, curvado", y la palabra inglés "tobillo". Ambas están conectadas con la raíz Protoindoeuropeo *ank-, que significa "doblarse" o "inclinarse".​Nota: ἀγκύλος en lugar de ἀνκύλος es correcto, el γκ es un dígrafo que se pronuncia [ŋk].

Euclides define un ángulo plano como la inclinación recíproca, en un plano, de dos rectas que se encuentran entre sí y no son rectas entre sí. Según Proclus, un ángulo debe ser una cualidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo, que consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercer concepto. 

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 El Teorema de Pitágoras

 El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.

Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.

Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos«

Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos respectivamente.

Origen 

El origen del Teorema de Pitágoras está ubicado en Mesopotamia y el Antiguo Egipto, pero durante el inicio de sus estudios no se conocía como tal. Por aquel entonces, en el Teorema de Pitágoras, se trataban temas de valores con las longitudes de los lados de los triángulo rectángulo, su proporcionalidad, y se estudiaba el método para resolver los problemas relacionados con dichos triángulos.

Muchas de éstas referencias se encontraron, a lo largo de la historia de la teoría de pitágoras, escritas en papiros, tablillas y paredes, pero no se hallaron suficientes datos como para dar con una fórmula que demostrará la relación entre los lados de los triángulos rectángulo con exactitud hasta que el matemático y filósofo Pitágoras de Samos pudo dar con la teoría perfecta para aplicar el Teorema de Pitágoras. Por éste motivo el Teorema lleva el nombre de Pitágoras.

Historia del teorema de Pitágoras

Para entender un poco mejor la historia del teorema de Pitágoras es necesario conocer que está relacionada con un gran número de descubrimientos y de avances importantes a lo largo de los años, sin embargo el origen de pitagoras fue conocido como Teorema de Pitágoras gracias a la aportación de Pitágoras, quien tras años de estudio consiguió aplicar su teoría de la proporcionalidad entre los lados de un triángulo rectángulo.

Así pues, la historia de Pitágoras se resuemne en que fue un filósofo y matemático de la antigua Grecia que contribuyó de manera significativa en el avance de las matemáticas, la filosofía y la geometría. El filósofo fue el impulsor de la escuela pitagórica en el siglo VI a.C y gracias a la ayuda de los pitagóricos, aquellos que pertenecían a la escuela, consiguió el descubrimiento de lo que hoy en día conocemos como el Teorema de Pitágoras.

Actualmente, no podemos asegurar con certeza que el verdadero origen del Teorema de Pitágoras pertenezca en su totalidad a Pitágoras pero lo cierto es que la propiedad de la proporcionalidad de los triángulos rectángulos fue un estudio realizado por Pitágoras así como su consiguiente demostración y aplicación.

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El triángulo

 El triángulo Figura Geométrica 

Los triángulos o trígonos son figuras geométricas planas, básicas, que poseen tres lados en contacto entre sí en puntos comunes denominados vértices. Su nombre proviene del hecho de que posee tres ángulos interiores o internos, formados por cada par de líneas en contacto en un mismo vértice.

Estas figuras geométricas se nombran y clasifican de acuerdo a la forma de sus lados y al tipo de ángulo que construyen. Sin embargo, sus lados son siempre tres y la suma de todos sus ángulos siempre dará 180°.

Tipos de triángulos

Tipos de triángulos según sus lados

Los nombres de los triángulos según sus lados son: equilátero, isósceles y escaleno. Cada uno de ellos tiene diferentes características que desarrollaremos a continuación.

Triángulo equilátero

El triángulo equilátero es aquel que se caracteriza por tener todos los lados iguales. En consecuencia, todos los ángulos de un triángulo equilátero tienen 60º. El triángulo equilátero es un polígono regular.

Triángulo isósceles

Los triángulos isósceles se caracterizan por tener dos lados iguales y uno diferente. En consecuencia, también tiene dos ángulos iguales.

Triángulo escaleno

Un triángulo escaleno es aquel que se caracteriza por tener todos sus lados y ángulos desiguales, es decir, diferentes entre sí.

Tipos de triángulos según sus ángulos

Triángulo rectángulo

Los triángulos rectángulos son aquellos que están formados por un ángulo recto y dos ángulos agudos. Por lo tanto, el lado mayor es la hipotenusa.

Por ejemplo, algunos triángulos isósceles y escalenos. Eso, sin embargo, nunca puede ocurrir con un triángulo equilátero ya que la medida de sus ángulos es invariable.

Triángulo oblicuángulo

Se llaman triángulos oblicuángulos a aquellos que se caracterizan por no tener ningún ángulo recto. En este grupo se encuentran tanto los acutángulos como los obtusángulos que, aunque son diferentes entre sí, comparten dicha característica.

• Triángulo acutángulo: son aquellos que tienen tres ángulos agudos.
• Triángulo obtusángulo: son aquellos tienen un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.

Área de un triángulo

Para calcular el área del triángulo es necesario conocer su altura.

El área de un triángulo (a) es el espacio interior delimitado por sus tres lados. Puede calcularse sabiendo su base (b) y su altura (h), de acuerdo a la fórmula:

a = (b.h)/2.

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