El Teorema de Pitágoras

 El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.

También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.

Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.

Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos«

Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos respectivamente.

Origen 

El origen del Teorema de Pitágoras está ubicado en Mesopotamia y el Antiguo Egipto, pero durante el inicio de sus estudios no se conocía como tal. Por aquel entonces, en el Teorema de Pitágoras, se trataban temas de valores con las longitudes de los lados de los triángulo rectángulo, su proporcionalidad, y se estudiaba el método para resolver los problemas relacionados con dichos triángulos.

Muchas de éstas referencias se encontraron, a lo largo de la historia de la teoría de pitágoras, escritas en papiros, tablillas y paredes, pero no se hallaron suficientes datos como para dar con una fórmula que demostrará la relación entre los lados de los triángulos rectángulo con exactitud hasta que el matemático y filósofo Pitágoras de Samos pudo dar con la teoría perfecta para aplicar el Teorema de Pitágoras. Por éste motivo el Teorema lleva el nombre de Pitágoras.

Historia del teorema de Pitágoras

Para entender un poco mejor la historia del teorema de Pitágoras es necesario conocer que está relacionada con un gran número de descubrimientos y de avances importantes a lo largo de los años, sin embargo el origen de pitagoras fue conocido como Teorema de Pitágoras gracias a la aportación de Pitágoras, quien tras años de estudio consiguió aplicar su teoría de la proporcionalidad entre los lados de un triángulo rectángulo.

Así pues, la historia de Pitágoras se resuemne en que fue un filósofo y matemático de la antigua Grecia que contribuyó de manera significativa en el avance de las matemáticas, la filosofía y la geometría. El filósofo fue el impulsor de la escuela pitagórica en el siglo VI a.C y gracias a la ayuda de los pitagóricos, aquellos que pertenecían a la escuela, consiguió el descubrimiento de lo que hoy en día conocemos como el Teorema de Pitágoras.

Actualmente, no podemos asegurar con certeza que el verdadero origen del Teorema de Pitágoras pertenezca en su totalidad a Pitágoras pero lo cierto es que la propiedad de la proporcionalidad de los triángulos rectángulos fue un estudio realizado por Pitágoras así como su consiguiente demostración y aplicación.

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El triángulo

 El triángulo Figura Geométrica 

Los triángulos o trígonos son figuras geométricas planas, básicas, que poseen tres lados en contacto entre sí en puntos comunes denominados vértices. Su nombre proviene del hecho de que posee tres ángulos interiores o internos, formados por cada par de líneas en contacto en un mismo vértice.

Estas figuras geométricas se nombran y clasifican de acuerdo a la forma de sus lados y al tipo de ángulo que construyen. Sin embargo, sus lados son siempre tres y la suma de todos sus ángulos siempre dará 180°.

Tipos de triángulos

Tipos de triángulos según sus lados

Los nombres de los triángulos según sus lados son: equilátero, isósceles y escaleno. Cada uno de ellos tiene diferentes características que desarrollaremos a continuación.

Triángulo equilátero

El triángulo equilátero es aquel que se caracteriza por tener todos los lados iguales. En consecuencia, todos los ángulos de un triángulo equilátero tienen 60º. El triángulo equilátero es un polígono regular.

Triángulo isósceles

Los triángulos isósceles se caracterizan por tener dos lados iguales y uno diferente. En consecuencia, también tiene dos ángulos iguales.

Triángulo escaleno

Un triángulo escaleno es aquel que se caracteriza por tener todos sus lados y ángulos desiguales, es decir, diferentes entre sí.

Tipos de triángulos según sus ángulos

Triángulo rectángulo

Los triángulos rectángulos son aquellos que están formados por un ángulo recto y dos ángulos agudos. Por lo tanto, el lado mayor es la hipotenusa.

Por ejemplo, algunos triángulos isósceles y escalenos. Eso, sin embargo, nunca puede ocurrir con un triángulo equilátero ya que la medida de sus ángulos es invariable.

Triángulo oblicuángulo

Se llaman triángulos oblicuángulos a aquellos que se caracterizan por no tener ningún ángulo recto. En este grupo se encuentran tanto los acutángulos como los obtusángulos que, aunque son diferentes entre sí, comparten dicha característica.

• Triángulo acutángulo: son aquellos que tienen tres ángulos agudos.
• Triángulo obtusángulo: son aquellos tienen un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.

Área de un triángulo

Para calcular el área del triángulo es necesario conocer su altura.

El área de un triángulo (a) es el espacio interior delimitado por sus tres lados. Puede calcularse sabiendo su base (b) y su altura (h), de acuerdo a la fórmula:

a = (b.h)/2.

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 Fracciones. 

Una fracción es la expresión matemática que se utiliza para representar las partes de un todo. Es decir, es un número entero que ha sido dividido en partes iguales y cada parte es la fracción del entero.

Toda fracción es una división y toda división es una fracción. Por ello, una división se puede convertir en una fracción para ser simplificada.

Etimológicamente, el término fracción proviene del latín fractioque significa acción de romper.

Por ejemplo, si estamos celebrando un cumpleaños y tenemos 8 invitados, dividimos la pizza o la tarta en 8 partes iguales, es decir, en ocho octavos. Cada pedazo corresponde a 1/8 (un octavo) del total y, si el invitado come 3 trozos se puede decir que ha comido 3/8 (3 octavos) de la pizza.

Fracción simple

Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción vulgar) es un número racional de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b≠0. Puesto que una fracción común representa un número racional, las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales. Ejemplo ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$; 3/4; ³/₄; (¾); fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%.

Fracción propia e impropia

Las fracciones comunes pueden clasificarse en propias e impropias. 

Una fracción propia es aquella en la que, si el numerador y el denominador son positivos, el numerador es menor que el denominador, por ejemplo ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}},\;{\tfrac {3}{8}},\;{\tfrac {3}{4}}}$. 

Por el contrario, una fracción impropia será la fracción en donde el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo ${\displaystyle {\tfrac {13}{6}},\;{\tfrac {18}{8}},\;{\tfrac {5}{2}}}$. En general, una fracción común es una fracción propia si el valor absoluto es estrictamente menor que uno — es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1

Fracción mixta

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.⁴​

Toda fracción impropia ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ puede escribirse como número mixto: ${\displaystyle A{\tfrac {a}{b}}}$, en donde ${\displaystyle A{\tfrac {a}{b}}}$ denota ${\displaystyle A+{\tfrac {a}{b}}}$ (donde ${\displaystyle A\in \mathbb {Z} ,~A\geq 0}$, es la parte entera). Como ejemplos:

${\displaystyle {\frac {30}{20}}={\frac {3}{2}}=1{\frac {1}{2}}}$ «Una cucharadita y media de...»

${\displaystyle 15.70/12.561\approx 5/4=1{\frac {1}{4}}}$ «En una hora y cuarto...»

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Máximo común divisor 

En el contexto de las matemáticas, el máximo común divisor representa el número más grande por el cual se pueden dividir dos o más números. Si se encuentran todos los factores de dos o más números y encuentra que algunos factores son los mismos («Común»), entonces el mayor de estos factores comunes es el Divisor común máximo. Abreviado como «MCD». Para descubrir cuáles son los números que los dividen, hay dos formas: la forma larga y la forma más corta.

Precisiones

Dados ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ dos números enteros distintos de cero. Si un número ${\displaystyle c}$ divide a ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, es decir, ${\displaystyle c|a}$ y ${\displaystyle c|b}$, diremos que ${\displaystyle c}$ es divisor común de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$.​ Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Si los divisores comunes de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son únicamente 1 y -1 entonces diremos son primos entre sí'.

Un número entero d se llama máximo común divisor (M.C.D) de los números a y b cuando:

1. d es divisor común de los números a y b
2. d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.

Como calcularlo:

Usando el algoritmo de euclides

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño.

Ejemplo 1:

Si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD. Formalmente puede describirse como:

${\displaystyle \operatorname {mcd} (a,0)=a}$

${\displaystyle \operatorname {mcd} (a,b)=\operatorname {mcd} (b,a\,\mathrm {mod} \,b).}$

Ejemplo 2:

El MCD de 42 y 56 es 14. En efecto:

${\displaystyle \operatorname {mcd} (42,56)=14\,}$

operando:

${\displaystyle {\frac {42}{14}}=3\;,\quad {\frac {56}{14}}=4}$

 Usando el mínimo común múltiplo

El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguiente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo de a y b:

${\displaystyle \operatorname {MCD} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {mcm} (a,b)}}}$

Propiedades

1. Si ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=d}$ entonces ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1}$
2. Si ${\displaystyle \ m\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (ma,mb)=|m|\cdot \operatorname {mcd} (a,b)}$
3. Si ${\displaystyle \ p}$ es un número primo, entonces ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (p,m)=p}$ o bien ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (m,p)=1}$
4. Si ${\displaystyle d=\operatorname {mcd} (m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname {mcd} (m'',n'')=1}$, entonces ${\displaystyle \ d=d'}$
5. Si ${\displaystyle \ d'}$ es un divisor común de ${\displaystyle \ m}$ y ${\displaystyle \ n}$, entonces ${\displaystyle d'\mid \operatorname {mcd} (m,n)}$
6. Si ${\displaystyle \ m=nq+r}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {mcd} (m,n)=\operatorname {mcd} (n,r)}$
7. Si ${\displaystyle \ m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}\;\,\mathrm {y} \;\,n=p_{1}^{\beta _{1}}\cdots p_{k}^{\beta _{k}},\;\,\alpha _{i},\beta _{i}\geq 0,\;\,i=1,...,k}$, entonces:

${\displaystyle \operatorname {mcd} (m,n)=p_{1}^{\operatorname {min} (\alpha _{1},\beta _{1})}\cdots p_{k}^{\operatorname {min} (\alpha _{k},\beta _{k})}}$

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